Übung 4
Herzlich Willkommen zur Übung Statistik 5. Bei dieser Übung wollen wir t-Tests für unabhängige Stichproben mit passenden Konfidenzintervallen und U-Tests vergleichen.
In der Vorlesung haben wir uns bereits die Idee des Signifikanztests angeschaut. In dieser Übung soll geschaut werden, wie sich t-Test, Konfidenzintervalle und U-Test verhalten.
Dafür sollen jeweils 100’000 Stichproben aus zwei Populationen (A, B) gezogen werden. Mit diesen werden wir durchweg arbeiten:
Benutzen Sie den Seed 1000. Simulieren Sie die die 100’000 Stichproben je Subpopulation und speichern Sie das Ergebnis jeweils in einer Variable nach dem Schema: Population_Subpopulation, z.B. A_1
Wenn Sie alles richtig gemacht haben, sollten Sie etwa folgende Werte für die jeweils erste Person ihrer Stichprobe haben: 94.7, 110.0, 99.6, 89.4
Berechnen sie für jede der Stichprobe und jede Subpopulation die folgenden Stichprobenkennwerte und speichern Sie diese in jeweils in Variable. Sie können dafür wieder apply verwenden.
Haben Sie alles richtig gemacht, sollten Sie jetzt 8 Variablen mit jeweils 100’000 Werten haben.
Berechnen Sie jetzt folgende Grössen für den Vergleich der Subgruppen 1 und 2 wieder getrennt für die Populationen A und B. Sie sollten vier neue Variablen (A_sigma2_inn, B_sigma2_inn, MDiff_Sigma_A, MDiff_Sigma_B) mit jeweils 100’000 Werten haben. Sie brauchen diesmal kein apply () oder Schleifen.
\[\widehat\sigma_{inn}^{2}=\frac{(n_{1}−1)*s_{1}^{2}+(n_{2}−1)*s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\] \[\widehat\sigma_{\overline x_1 - \overline x_2}=\sqrt{\frac{\widehat\sigma_{inn}^{2}}{n_{1}}+\frac{\widehat\sigma_{inn}^{2}}{n_{2}}}\]
Bestimmen Sie den benötigten t-Wert für ein 95%-Konfidenzintervall für Mittelwertsunterschiede und speichern Sie ihn in der Variable t.
Prüfen Sie Ihren Wert hier (2 Nachkommastellen):
Bestimmen Sie jetzt die Ober- und Untergrenzen ihrer Konfidenzintervalle für jede Stichprobe und speichern Sie die Ergebnisse in den Variablen A_ug, A_og, B_ug, B_og.
Prüfen Sie für jedes Konfidenzintervall ob die 0 ausserhalb der Ober- und Untergrenzen liegt und speichern Sie das Ergebnis in den Variablen A_Ausserhalb, B_Ausserhalb. Sie benötigen keine if-Bedingung aber Vergleiche (< >) und den oder-Operator |.
Beantworten Sie folgende Fragen:
Was bedeutet es, wenn die 0 innerhalb oder ausserhalb des Konfidenzintervalls liegt?
Wir hatten eine Konfidenz von 95% gewollt. Passen unsere Ergebnisse zu diesem Wert? Begründen Sie Ihre Antwort.
Population B wurde so gewählt, dass unsere Stichprobe mit einer gewissen Power/Teststärke ein signifikantes Ergebnis liefern. Wie gross sind Fehler 2. Art und die Teststärke für die Stichproben von Population B?
Die Statistik für den t-Test für unabhängige Stichproben ist definiert als:
\[ t=\frac{\overline x_1 - \overline x_2}{\widehat\sigma_{\overline x_1 - \overline x_2}}\]
Sie gibt also an, wie gross das Verhältnis zwischen der Mittelwertsdifferenz zur geschätzten Streuung der Mittelwerte (über viele theoretische Stichproben) ist. Je grösser das Verhältnis, desto mehr können wir annehmen, dass der beobachtete Unterschied nicht nur Zufall war.
Erkenn Sie auch, dass diese Formel der umgestellten Formel für das Konfidenzintervall entspricht, ausser das hier die empirische t-Wert berechnet wird, während in die Gleichung des Konfidenzintervalls der kritische t-Wert eingesetzt wird.
Sie haben eigentlich schon alles, um die empirischen t-Werte zu bestimmen. Bitte bestimmen Sie jetzt die empirischen t-Werte für beide Populationen und speichern Sie die Ergebnisse in A_t und B_t.
Für die Prüfung der statistischen Signifikanz könnten Sie jetzt einfach die empirischen t-Werte mit dem kritischen t-Wert von zuvor vergleichen.
Wir wollen einen anderen Weg gehen. Bestimmen Sie für jeden t-Wert den zugehörigen p-Wert mit der Funktion pt(). Probieren Sie die Funktion am besten mit dem kritischen t-Wert von zuvor aus. Sie werden das erste, das zweite und das vierte Argument der Funktion brauchen. Denken Sie auch daran, dass der p-Wert für eine ungerichtete Hypothese wäre. Ein letzter Hinweis, Sie müssen (um die Richtung ignorieren zu können) die Beträge der t-Werte mittels abs() nehmen.
Sobald Sie die Funktion verstanden haben, bestimmen sie die p-Werte und speichern Sie die Ergebnisse in A_p und B_p.
Beantworten Sie folgende Fragen:
Wir wissen, dass eigentlich Subpopulation B2 einen höheren Mittelwert in der Population aufweist, als Subpopulation B1. Wie oft haben Sie ein signifikantes Ergebnis erzielt, wobei in der Stichprobe die falsche Gruppe den höheren Mittelwert hatte?
Sie können diese Frage mit den Konfidenzintervallen oder den t-Tests lösen.
Wir haben jetzt gesehen, dass Konfidenzintervalle und die zugehörigen parametrischen Tests exakt die gleichen Ergebnisse erzielen.
Jetzt wollen wir uns noch die p-Werte für die nicht signifikanten Ergebnisse anschauen. Bitte erstellen sie 6 Histogramme für die p-Werte von
Was ist Ihnen bei den vorherigen Histogrammen aufgefallen?
Schauen wir uns noch die Mittelwertsunterschiede in Bezug auf die zugehörigen p-Werte an. Erstellen Sie dazu passende Streudiagramme für
Was fällt Ihnen auf?
Jetzt wollen wir noch den U-Test mit dem t-Test vergleichen. Der U-Test wurde wie folgt durchgeführt:
\[U_1 = n_1*n_2+\frac{n_1*(n_1+1)}{2}-R_1\]
\[U_2 = n_1*n_2+\frac{n_2*(n_2+1)}{2}-R_2\]
\[W = R_1-\frac{n_1*(n_1+1)}{2}\]
Da die Rangbestimmung etwas kompliziert ist nutzen Sie bitte zunächst folgenden Code, um die Ränge für die jeweilige Subpopulation 1 zu ermitteln:
Nachdem Sie die Ränge wie oben ermittelt haben, bestimmen Sie die Rangsumme je Stichprobe für Gruppe 1 und ziehen Sie davon die theoretisch niedrigste mögliche Rangsumme ab. Speichern Sie Ihre Ergebnisse in A_W und B_W.
Der Umgang mit pwilcox ist etwas kompliziert, da die Verteilung nicht um 0 symmetrisch ist sondern der Erwartungswert unter der Nullhypothese bei \((n_1*n_2)/2\) liegt. Daher hier der Code um die p-Werte zu bestimmen
# Da n1 = n2 ist gilt:
Erwartungswert <- 64^2/2
# normalerweise bekommt pwilcox, als Argumente, W, n_1, n_2, bei uns sind die letzten beiden gleich
A_W_p <- 2*(pwilcox(abs(A_W-Erwartungswert)+Erwartungswert-1, n, n, lower.tail = FALSE) )
B_W_p <- 2*(pwilcox(abs(B_W-Erwartungswert)+Erwartungswert-1, n, n, lower.tail = FALSE) )Beantworten Sie nun folgende Fragen: