#Übung 1

Stichproben <- 100000
n <- 64
mü_A1 <- 100
mü_A2 <- 100
mü_B1 <- 100
mü_B2 <- 106

sigma2_A1 <- 144
sigma2_A2 <- 144
sigma2_B1 <- 144
sigma2_B2 <- 144

set.seed(1000)
A_1 <- replicate(Stichproben,rnorm(n,mü_A1,sqrt(sigma2_A1)))
A_2 <- replicate(Stichproben,rnorm(n,mü_A2,sqrt(sigma2_A2)))
B_1 <- replicate(Stichproben,rnorm(n,mü_B1,sqrt(sigma2_B1)))
B_2 <- replicate(Stichproben,rnorm(n,mü_B2,sqrt(sigma2_B2)))

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#Übung 2

A_1_M <- apply(A_1, 2, mean)
A_2_M <- apply(A_2, 2, mean)
B_1_M <- apply(B_1, 2, mean)
B_2_M <- apply(B_2, 2, mean)

A_1_SD <- apply(A_1, 2, sd)
A_2_SD <- apply(A_2, 2, sd)
B_1_SD <- apply(B_1, 2, sd)
B_2_SD <- apply(B_2, 2, sd)

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#Übung 3

#Formeln 

A_sigma_inn <- ((n-1)*A_1_SD^2+(n-1)*A_2_SD^2)/(n+n-2)
B_sigma_inn <- ((n-1)*B_1_SD^2+(n-1)*B_2_SD^2)/(n+n-2)
MDiff_Sigma_A <- sqrt(A_sigma_inn/n+A_sigma_inn/n)
MDiff_Sigma_B <- sqrt(B_sigma_inn/n+B_sigma_inn/n)

#T-Wert

t <- qt(.975,n+n-2) #die zahlen sind die Df
t <- qt(.975,64+64-2) #die zahlen sind die Df
t
#Konf. int.

A_ug <- (A_1_M - A_2_M) - t*MDiff_Sigma_A
A_og <- (A_1_M - A_2_M) + t*MDiff_Sigma_A
B_ug <- (B_1_M - B_2_M) - t*MDiff_Sigma_B
B_og <- (B_1_M - B_2_M) + t*MDiff_Sigma_B

A_Ausserhalb <- (0 < A_ug) | (0 > A_og) 
B_Ausserhalb <- (0 < B_ug) | (0 > B_og) 

table(A_Ausserhalb)
94998 / (94998 + 5002) * 100

table(B_Ausserhalb)
20077  / (20077 + 79923) * 100


#Wenn 0 im Konfidenzintervall liegt, 
#dann ist ein Mittelwertsunterschied von 0 mit den Daten vereinbar. 
#Das heisst: Es gibt keinen statistisch signifikanten Unterschied zwischen den Gruppen.

#Wenn 0 ausserhalb des Konfidenzintervalls liegt, 
#dann ist ein Unterschied von 0 nicht mehr plausibel. 
#Das spricht für einen statistisch signifikanten Mittelwertsunterschied.

#Ja der Konfidenzinterval entspricht 95% da 5% der Werte etwa sign. wurden.

#teststärke etwa 80% und beta-fehler etwa 20%



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#Übung 6

A_t <- (A_1_M-A_2_M)/MDiff_Sigma_A
B_t <- (B_1_M-B_2_M)/MDiff_Sigma_B
A_t
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#Übung 7

A_p <- 2*pt(abs(A_t), n+n-2, lower.tail = FALSE) #abs bedeutet Betrag, lower.tail= nicht die Wahrscheinlichkeit unterhalb des Werts sondern 
                                                 #die Wahrscheinlichkeit oberhalb des Werts
B_p <- 2*pt(abs(B_t), n+n-2, lower.tail = FALSE) #n+n-2 sind die DF. 2* weil es ein zweiseitiger test ist

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#Übung 8

table(A_p < .05)
table(B_p < .05)

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#Übung 9

#Beide Varianten

table(0<B_ug)


table((B_p < .05) & (B_t>0))

#Wir sehen, dass ist nicht einmal passiert, der Effekt ist auch recht stark in 
#der Bevölkerung mit d = .50 und relativ grossen Stichproben. 
#Es könnte theoretisch aber passieren, nur recht unwahrscheinlich bei diesen Werte :-D

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