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title: "Statistik 1"
subtitle: "Übung 3"
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```{r setup}
#| include: false
library("exams2forms")
knitr::opts_knit$set("out.format" = NULL, "rmarkdown.pandoc.to" = NULL)
```

## Einleitung und Ziele der Übung

Herzlich Willkommen zur Übung Statistik 1. Diese dritte Übung dient die drei Vorlesungen zum Thema Wahrscheinlichkeit ab. D.h. die letzten Abschnitte werden Ihnen vermutlich noch unbekannt sein zum Zeitpunkt der Übung. Betrachten Sie diese als Hausaufgabe bis zur nächsten Statistikübung. Die dann wieder in der Übung verglichen wird

## Agenda

- (Bedingte) Wahrscheinlichkeit
- Mengen
- Stochastische Unabhängigkeit
- Satz von Bayes
- Verteilungen

## 1. (Bedingte) Wahrscheinlichkeit

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Welche *Regel* erlaubt, dass sich Wahrscheinlichkeiten (der Population) aus (relativen) Häufigkeiten in der Stichprobe schätzen lassen?

Betrachten Sie die (fiktiven) Häufigkeiten zur Lieblingsfarbe von Personen aus 2 Kantonen. Die Daten sind fiktiv. Lösen Sie anschliessend die Aufgaben auf der nächsten Seite. Gehen Sie von einem Laplace-Experiment aus (alle Personen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit ausgewählt zu werden).

\

||Uri|Luzern|Gesamt|
|:----------|----------|----------|----------|
|Blau|50|40|90|
|Rot|30|21|51|
|Grün|40|13|53|
|Gelb|10|11|21|
|Schwarz|13|54|67|
|Orange|17|12|29|
|Andere|40|53|93|
|Gesamt|200|204|404|



## 1. (Bedingte) Wahrscheinlichkeit - Übung

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Berechnen Sie die nachfolgenden Wahrscheinlichkeiten basierend auf der Stichprobe:

Hinweis

- Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 (keine führende Null)
- Wahrscheinlichkeiten sind meist klein, daher immer 3 Stellen nach dem Komma (sonst 2)
- Runden nicht vergessen!

\

- $p = \space$ `r forms_string(".495", width = 5, obfuscate = FALSE)`, eine Person ist aus Uri 
- $p = \space$ `r forms_string(".124", width = 5, obfuscate = FALSE)`, eine Person mag Gelb oder Orange 
- $p = \space$ `r forms_string(".134", width = 5, obfuscate = FALSE)`, eine Person ist aus Luzern und mag Schwarz 
- $p = \space$ `r forms_string(".806", width = 5, obfuscate = FALSE)`, eine Person ist aus Luzern, wenn wir wissen, dass diese Person Schwarz mag 
- $p = \space$ `r forms_string(".017", width = 5, obfuscate = FALSE)`, zweimal hintereinander eine Person die Grün mag auszuwählen, wobei dieselbe Person nicht 2x ausgewählt werden darf 
- $p = \space$ `r forms_string(".034", width = 5, obfuscate = FALSE)`, zweimal hintereinander eine Person die Grün oder Gelb mag auszuwählen, wobei dieselbe Person 2x ausgewählt werden darf 
- $p = \space$ `r forms_string(".651", width = 5, obfuscate = FALSE)`, dass eine Person weder Rot noch Blau mag 

## 2. Mengen - Einführung
\

Wiederholen Sie kurz die Definitionen von Schnittmenge, Vereinigungsmenge sowie Komplement.

Gegeben seien folgende Mengen basierend auf dem Werfen dreier Münzen:

- $\Omega = \{(Z,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(Z,K,K),(K,Z,Z),(K,Z,K),(K,K,Z),(K,K,K)\}$
- $A = mehr\space Zahl\space als\space Kopf$
- $B = dritter\space Wurf\space Kopf$
- $C = nur\space Kopf$

Lösen Sie anschliessend die Aufgaben der nächsten Seite.


## 2. Mengen - Übung 1

\

Führen Sie alle Elemente an. Für das Feedback ist es wichtig, dass Sie die Reihenfolge wie in Omega einhalten und alle Klammern korrekt setzen. Leerzeichen sind egal. Für die leere Menge bitte einfach das Wort leer eintragen.
Tragen Sie zum Beispiel in das nachfolgende Feld $\{(Z,Z,Z),(K,K,K)\}$ ein:  `r forms_string("{(Z,Z,Z),(K,K,K)}", width = 30, obfuscate = FALSE)`

Hier nochmal Omega (zum Kopieren): $\Omega = \{(Z,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(Z,K,K),(K,Z,Z),(K,Z,K),(K,K,Z),(K,K,K)\}$

\


| Menge |  | Elemente |
|----|--|----------------------|
|$A$|=|`r forms_string("{(Z,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(K,Z,Z)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$B$|=|`r forms_string("{(Z,Z,K),(Z,K,K),(K,Z,K),(K,K,K)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$C$|=|`r forms_string("{(K,K,K)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$C^C$|=|`r forms_string("{(Z,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(Z,K,K),(K,Z,Z),(K,Z,K),(K,K,Z)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$B\backslash A$|=|`r forms_string("{(Z,K,K),(K,Z,K),(K,K,K)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`| 
|$C\cap A$|=|`r forms_string("leer", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$C\cup \Omega$|=|`r forms_string("{(Z,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(Z,K,K),(K,Z,Z),(K,Z,K),(K,K,Z),(K,K,K)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$A\cap B$|=|`r forms_string("{(Z,Z,K)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|

## 2. Mengen - Übung 2

\

Hier nochmal Omega (zum Kopieren): $\Omega = \{(Z,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(Z,K,K),(K,Z,Z),(K,Z,K),(K,K,Z),(K,K,K)\}$

\

Noch drei etwas schwerere zum Abschluss:

| Menge |  | Elemente |
|----|--|----------------------|
|$(A\backslash B) \cap (B\backslash A)$|=|`r forms_string("leer", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$((A\backslash B) \cap (B\backslash A)) \cup C)$|=|`r forms_string("{(K,K,K)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|
|$(A\cup B)^C$|=|`r forms_string("{(K,K,Z)}", width = 40, obfuscate = FALSE)`|



## 3. Stochastische Unabhängigkeit - Einführung

\

Wiederholen Sie kurz, was es bedeutet, wenn zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

\

Mathematisch können wir dies überprüfen, wenn wir die linke und rechte Hälfte des Multiplikationstheorems bestimmen und dann prüfen, ob das Theorem eine wahre Aussage ist.

$$p(A\cap B)=p(A) * p(B)$$
\

Wir werden beim vorherigen Beispiel "3-maliges Werfen einer Münze" bleiben.


## 3. Stochastische Unabhängigkeit - Übung

\

Wir wollen prüfen, ob die folgenden Ereignisse stochastisch unabhängig sind:

$A = Mehr\space Zahl\space als\space Kopf\quad$ $B = Letzter\space Wurf\space Kopf\quad$ $D = 1.\space und\space 2.\space Wurf\space Zahl$

 Bestimmen Sie dafür der Reihe nach folgende Angaben und treffen Sie dann Ihre Entscheidung!
Für absolute Häufigkeiten sind keine Nachkommastellen notwendig

| zu bestimmen |  | Wert | | zu bestimmen |  | Wert |
|----|--|----|-|:----|--|----|
|$n_A$|=|`r forms_string("4", width = 4, obfuscate = FALSE)`||$n_{A \cap B}$|=|`r forms_string("1", width = 4, obfuscate = FALSE)`|
|$n_B$|=|`r forms_string("4", width = 4, obfuscate = FALSE)`||$n_{A \cap D}$|=|`r forms_string("2", width = 4, obfuscate = FALSE)`| 
|$n_D$|=|`r forms_string("2", width = 4, obfuscate = FALSE)`||$n_{B \cap D}$|=|`r forms_string("1", width = 4, obfuscate = FALSE)`|
|$n_\Omega$|=|`r forms_string("8", width = 4, obfuscate = FALSE)`|||||
|$p(A)$|=|`r forms_string(".500", width = 4, obfuscate = FALSE)`||$p(A) * p(B)$|=|`r forms_string(".250", width = 4, obfuscate = FALSE)`|
|$p(B)$|=|`r forms_string(".500", width = 4, obfuscate = FALSE)`||$p(A) * p(D)$|=|`r forms_string(".125", width = 4, obfuscate = FALSE)`| 
|$p(D)$|=|`r forms_string(".250", width = 4, obfuscate = FALSE)`||$p(B) * p(D)$|=|`r forms_string(".125", width = 4, obfuscate = FALSE)`|
|$p(A\cap B)$|=|`r forms_string(".125", width = 4, obfuscate = FALSE)`||A und B sind||`r forms_schoice(c("s. abhg.","s. unabhg."),c(T,F),"dropdown", obfuscate = FALSE)`|
|$p(A\cap D)$|=|`r forms_string(".250", width = 4, obfuscate = FALSE)`||A und D sind||`r forms_schoice(c("s. abhg.","s. unabhg."),c(T,F),"dropdown", obfuscate = FALSE)`| 
|$p(B\cap D)$|=|`r forms_string(".125", width = 4, obfuscate = FALSE)`||B und D sind||`r forms_schoice(c("s. abhg.","s. unabhg."),c(F,T),"dropdown", obfuscate = FALSE)`|


## 4. Satz von Bayes - Einführung

\

Der Satz von Bayes beschreibt den Zusammenhang zwischen den Basisraten und den bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse:

$$p(A|B) = \frac{p(B|A)*p(A)}{p(B)}$$

## 4. Satz von Bayes - Übung

\

In einer klinischen Studie gab es eine Experimentalgruppe mit 20 Personen und eine Kontrollgruppe mit 30 Personen. In der Experimentalgruppe war die Heilungswahrscheinlichkeit 3/4, in der Kontrollgruppe 1/4. Vor Ihnen steht eine Person, die nicht geheilt wurde.
Wie wahrscheinlich ist es, dass diese zur Experimentalgruppe gehört?

\

Um diese Aufgabe zu lösen, sollten Sie sich zunächst überlegen. Was ist das Ereignis A und was ist das Ereignis B. Überlegen Sie dann,
welche bedingte Wahrscheinlichkeit Sie haben und berechnen Sie den verbleibenden Wert mit dem Satz von Bayes.

Zwischenergebnisse

- $p(A)=\space$`r forms_string(".400", width = 8, obfuscate = FALSE)`
- $p(B|A)=\space$`r forms_string(".250", width = 8, obfuscate = FALSE)`
- $p(B)=\space$`r forms_string(".550", width = 8, obfuscate = FALSE)`

\

Lösung

- $p(A|B)=\space$`r forms_string(".182", width = 8, obfuscate = FALSE)`

## 5. Verteilungen - Einführung

\

In der zweiten und dritten Einheit zur Wahrscheinlichkeit sind mehrere Verteilungen vorgestellt wurden. Auf den nächsten Seiten finden Sie einige Verständnisfragen dazu.
Im Anschluss erhalten Sie dann einige Rechenaufgaben und Übungen zu den Tabellen (Hinweis: die Tabellen beschränken sich von den bisher vorgestellten Verteilungen auf Standardnormal- und Binomialverteilung)

## 5. Verteilungen - Übung 1

\

```{r choice1, echo = FALSE, message = FALSE, results = "asis"}
exams2forms("Fragen/SC_Poisson.Rmd")
exams2forms("Fragen/MC_Normal.Rmd")
exams2forms("Fragen/SC_Quantil.Rmd")
```



## 5. Verteilungen - Übung 2

\

```{r choice2, echo = FALSE, message = FALSE, results = "asis"}
exams2forms("Fragen/MC_Binomial.Rmd")
exams2forms("Fragen/SC_Verteilungsfunktion.Rmd")
exams2forms("Fragen/SC_WahrscheinlichkeitKleiner3.Rmd")
```


## 5. Verteilungen - Einführung 2

\

R bietet für jede Verteilung vier Funktionen, die immer mit dem gleichen Buchstaben starten...

- **d** Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
  - z.B. dbinom, dnorm
- **p** Verteilungsfunktion (kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion)
  - z.B. pbinom, pnorm
- **q** Quantilfunktion (inverse Verteilungsfunktion)
  - z.B. qbinom, qnorm
- **r** Zufallszahlen aus der Verteilung (für uns gerade uninteressant)
  - z.B. rbinom, rnorm  

Auf den nächsten Seiten schauen wir uns exemplarisch die Funktionen für die Binomialverteilung an.

## 5. Verteilungen - Einführung 3

\

- **dbinom(x, size, prob)** benötigt drei Argumente
  - x... Anzahl Erfolge
  - size... Anzahl Durchgänge
  - prob... Wahrscheinlichkeit für Erfolg
  - Wahrscheinlichkeit bei 10x würfeln **genau** 4x eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln:
    - dbinom(4, 10, 1/3)
  - Säulendiagramm mit allen Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsverteilung):
    - barplot(dbinom(0:10, 10, 1/3), names.arg=0:10)

```{r}
dbinom(4, 10, 1/3)
barplot(dbinom(0:10, 10, 1/3), names.arg=0:10)
```  
  
## 5. Verteilungen - Einführung 4

\
  
- **pbinom(q, size, prob)** benötigt drei Argumente
  - q... maximale Anzahl Erfolge
  - size... Anzahl Durchgänge
  - prob... Wahrscheinlichkeit für Erfolg
  - Wahrscheinlichkeit bei 10x würfeln **bis zu** 4x eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln: 
    - pbinom(4, 10, 1/3)
  - Säulendiagramm mit allen kumulierten Wahrscheinlichkeiten (Verteilungsfunktion):
    - barplot(pbinom(0:10, 10, 1/3), names.arg=0:10)

```{r}
pbinom(4, 10, 1/3)
barplot(pbinom(0:10, 10, 1/3), names.arg=0:10)
```  

## 5. Verteilungen - Einführung 5

\
  
- **qbinom(p, size, prob)** benötigt drei Argumente
  - p... kumulierte Wahrscheinlichkeit für die maximale Anzahl an Erfolgen
  - size... Anzahl Durchgänge
  - prob... Wahrscheinlichkeit für Erfolg
  - Die obere Grenze für die kumulierte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
    - qbinom(0.7868719, 10, 1/3)
  - Diagramm für die Quantilfunktion (inverse Verteilungsfunktion, etwas geglättet)
    - plot(seq(0,1,.01),qbinom(seq(0,1,.01),10,1/3),type="l")

```{r}
qbinom(0.7868719, 10, 1/3)
plot(seq(0,1,.01),qbinom(seq(0,1,.01),10,1/3),type="l")
```  

## 5. Verteilungen - Übung 5

\

Bestimmen Sie mit Hilfe der drei Befehle die folgenden Werte. 

Gehen Sie von einer gezinkten Münze, deren Wahrscheinlichkeit für Kopf bei 0.600 liegt und 12 Münzwürfen aus.

\

Lassen Sie vorab die Diagramme der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ausgeben: je einmal für Kopf als Erfolge und einmal Zahl als Erfolge.

\
Denken Sie daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Komplementärereignissen 1.00 ist.

Denken Sie auch daran, die führende 0 wegzulassen und auf die dritte Nachkommastelle zu runden.

\

- Wahrscheinlichkeit 7x Kopf zu werfen `r forms_string(".227", width = 8, obfuscate = FALSE)`
- Wahrscheinlichkeit 5x Zahl zu werfen `r forms_string(".227", width = 8, obfuscate = FALSE)`
- Wahrscheinlichkeit bis zu 8x Kopf zuwerfen `r forms_string(".775", width = 8, obfuscate = FALSE)`
- Wahrscheinlichkeit mindestens 8x Kopf zu werfen. `r forms_string(".438", width = 8, obfuscate = FALSE)`


```{R}
#| eval: false
#| include: false
#| echo: false

#Kopf
barplot(dbinom(0:12, 12, .600), names.arg=0:12)
barplot(pbinom(0:12, 12, .600), names.arg=0:12)
#Zahl
barplot(dbinom(0:12, 12, .400), names.arg=0:12)
barplot(pbinom(0:12, 12, .400), names.arg=0:12)

dbinom(7,12,.6)
dbinom(5,12,.4) #gleich
pbinom(8,12,.6)
pbinom(4,12,.4)
1-pbinom(7,12,.6) #gleich

```


## 5. Verteilungen - Übung 6

\

Zum Abschluss noch ein kleine Rechenübung.

Eine ideale Münze wird 6 geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, 5 oder 6 mal Kopf geworfen zu haben?
Berechnen Sie den Wert händisch (+Taschenrechner) mithilfe der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion.

Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anschliessend mithilfe der Tabelle zur Binomialverteilung und dem Befehl pbinom() in R.